Resolução comentada de Estatística - ICMS/RJ - 2010 - Prova Tipo 1


29. A média, a mediana e a variância das idades de um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades dessas pessoas serão, respectivamente:
(A) 44, 35 e 34.
(B) 44, 45 e 12.  
(C) 44, 45 e 24. 
(D) 34, 35 e 12.  
(E) 44, 45 e 124.   

RESOLUÇÃO:
Daqui a dez anos, todas as pessoas do grupo terão 10 anos a mais. Então, basta recordar as seguintes propriedades de uma variável:
1) Ao somarmos ou subtrairmos uma constante, a MÉDIA, a MEDIANA e a MODA dessa variável ficarão acrescentadas ou diminuídas dessa constante;
2) Ao somarmos ou subtrairmos uma constante, a VARIÂNCIA não se altera.
Portanto, apenas a média e a mediana ficarão acrescidas da constante 10, permanecendo inalterada a variância.


30. Se A e B são eventos independentes com probabilidades P[A] = 0,4 e P[B] = 0,5 então P[AUB] é igual a:
(A) 0,2.
(B) 0,4. 
(C) 0,5. 
(D) 0,7.  
(E) 0,9.  
 
RESOLUÇÃO:

Se os eventos A e B são independentes, então podemos afirmar que P[A∩B] = P[A] · P[B], ou seja, a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades individuais. Logo P[A∩B] = 0,4 · 0,5 = 0,2 e, portanto, P[AUB] = P[A] + P[B] − P[A∩B] = 0,4 + 0,5 – 0,2 = 0,7.


31. 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato A é igual a:
(A) 12,48%.
(B) 17,58%.
(C) 23,04%.
(D) 25,78%.
(E) 28,64%.
 
RESOLUÇÃO:

Probabilidade de sucesso (p) igual a 0,4, fracasso (q) igual a 0,6 e extração com reposição, portanto Distribuição Binomial, sendo n igual a 5. É pedida a probabilidade de 3 sucessos.
Relembrando a fórmula para “k” sucessos, temos:  .



32. Suponha que os salários dos trabalhadores numa certa região sejam descritos por uma variável populacional com média desconhecida e desvio padrão igual a R$200,00. Para se garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral dos salários não diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00, a amostra aleatória simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte tamanho:
(A) 3.568.
(B) 3.402. 
(C) 2.489.
(D) 2.356. 
(E) 1.537.  

RESOLUÇÃO:

A fórmula para encontrar o tamanho da amostra em função do erro máximo é dada por:
Se o nível de confiança é de 95%, então temos um nível de significância de 5% (α).
Assim, α/2 = 2,5% (0,025), o que corresponderá, na tabela da Normal à uma abscissa Z = 1,96
O desvio padrão (σ) é igual a 200 e o erro máximo (ε) é 10. Substituindo na fórmula, temos:



33. Para testar H0: p ≤ 0,5 contra H1: p > 0,5 sendo p a proporção de pessoas que são protegidas por planos de previdência privada numa certa população, uma amostra aleatória simples de tamanho 400 será obtida e será usado como critério de decisão rejeitar a hipótese H0 se a proporção de pessoas com essa proteção na amostra for maior ou igual a um certo número  k. Ao nível de significância de 5%, o valor de  k é aproximadamente igual a:
(A) 0,508. 
(B) 0,541.  
(C) 0,562.
(D) 0,588.  
(E) 0,602.  

RESOLUÇÃO:

Teste de Hipóteses unilateral à direita com α = 5% (0,05) ⇒ Z = 1,64.
A estatística teste para a proporção é dada por:  .
Onde p0 é a proporção hipotética da população, n é o tamanho da amostra e f é a proporção favorável da amostra (no caso, o valor k procurado). Do enunciado temos: n = 400, p0 = 0,5 e Z = 1,64.

Substituindo na fórmula, fica:


34. Para estimar a proporção p de pessoas acometidas por uma certa gripe numa população, uma amostra aleatória simples de 1600 pessoas foi observada e constatou-se que, dessas pessoas, 160 estavam com a gripe. Um intervalo aproximado de 95% de confiança para p será dado por:
(A) (0,066, 0,134).
(B) (0,085, 0,115).
(C) (0,058, 0,142).
(D) (0,091, 0,109).
(E) (0,034, 0,166).

RESOLUÇÃO:
A estimativa da verdadeira proporção na população será dada por:
 , significando que a probabilidade P da proporção populacional (p) estar entre a proporção amostral menos o erro  (p' - ε)    e a proporção amostral mais o erro  (p' + ε)  será igual ao nível de confiança  (1 - α) estipulado, sendo a proporção amostral dada por:  , onde X é o número de elementos na amostra que possuem a característica e n é o tamanho da amostra.
Portanto, de acordo com o enunciado,
O erro da estimativa (ε) é dado por: .
Se o nível de confiança é de 95%, então temos um nível de significância de 5% (α).
Assim, α/2 = 2,5% (0,025), o que corresponderá, na tabela da normal à uma abscissa Z = 1,96.
Substituindo na fórmula, temos:



35. Para testar H0:  μ  ≤ 10 contra H1:  μ > 10 sendo  μ a média de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com variância igual a 100, uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi obtida e resultou num valor da média amostral igual a 15,76. Ao nível de significância de 5%, o valor-p (nível crítico) correspondente e a decisão a ser tomada são respectivamente:
(A) 0,102 e não rejeitar H0.
(B) 0,01 e rejeitar H0.
(C) 0,058 e não rejeitar H0.
(D) 0,002 e rejeitar H0.
(E) 0,154 e não rejeitar H0.

RESOLUÇÃO:

Embora a amostra seja pequena (n < 30), a variância populacional é conhecida (100). Portanto, usaremos a Distribuição Normal Padrão. Para encontrar o p-valor temos que encontrar a abscissa em Z através da estatística teste, que será dada por: .
Do enunciado temos: n = 25,  μ0 = 10, σ = 10 (desvio padrão populacional) e  =15,76.


Na tabela da Distribuição Normal Padrão dada na prova (acumulada à direita) veremos que uma abscissa de 2,88 corresponde a uma área de 0,002. Esse será o p-valor. O teste é unilateral à direita e para um α = 5% (0,05) teremos uma abscissa de 1,64 (ZTAB). Como ZCALC > ZTAB (2,88 > 1,64), a hipótese nula (H0) será rejeitada.

36.
Duas variáveis aleatórias x e y têm coeficiente de correlação linear igual a 0,8. Se w e z são tais que w = 2x – 3 e z = 4 – 2y, então o coeficiente de correlação entre w e z será igual a:
(A) −0,8.
(B) −0,64.
(C) 0,36.
(D) 0,64.
(E) 0,8.
 
RESOLUÇÃO:
A correlação entre x e y é 0,8;
A correlação entre w e x é igual a 1, pois o coeficiente angular (β = 2) é positivo;
A correlação entre z e y é igual a −1, pois o coeficiente angular (β = −2) é negativo;
Para encontrar o coeficiente de correlação entre w e z, basta fazer:



 
GABARITOS OFICIAIS (Prova Tipo 01):
 
29. C    30. D     31. C     32. E     33. B     34. B     35. D    36. A

 

Prof. Pedro Bello
Graduado em Estatística e Ciências Atuariais, tendo sido aprovado em diversos concursos públicos. Atualmente é Analista de Resseguros do IRB-Brasil Resseguros S/A, aprovado no recente concurso de 2004, e ministra aulas de Estatística, Matemática e Raciocínio Lógico  em diversos cursos preparatórios no Rio de Janeiro. Foi professor de Estatística na FAETEC - Fundação de Apoio à Escola Técnica e Técnico de Nível Superior II na Secretaria de Trabalho do Estado do RJ.