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Números Inteiros - Operações e Propriedades


Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

Adição

Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1º parcela + 2º parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0

Subtração

O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo - subtraendo = resto ou diferença


A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.
A subtração é a operação inversa da adição:

M - S = R ↔ R + S = M


A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.

M + S + R = 2 × M


Valor absoluto

O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo de n".)

Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos:
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5.
O simétrico de 6 é -6.
O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo.

Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3


Operações com números inteiros (Z)

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações.

Adições e subtrações com números inteiros

Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Exemplo1:

Calcular o valor da seguinte expressão:
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4

Solução:
Faremos duas somas separadas

  • uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29
  • outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19

Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 - 19 =  +10

Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Exemplo2:
Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2
1º passo: Achar os totais (+) e (-):
    (+): +4 + 3 = +7
    (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:
    -27 + 7 = - 20

Multiplicação

Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.
1º fator x 2º fator = produto

  •  O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.
  • A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a
  • O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a
  • Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c ↔  (a  + k) x b = c + (k x b)
  • Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: a × b = c ↔  (a × k)  × b = k × c
  • Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)


Divisão inteira

Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:

Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.
Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

× 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7|

2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.

-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7|

  • Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q.
  • Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.
  • O zero é divisível por qualquer número não nulo: ≠ 0 → 0 ÷ D = 0.
  • Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N.
  • Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k  ≥ D.

Multiplicação e divisões com números inteiros

Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos:

Sinais iguais (+)

Sinais opostos (-)

(+) × (+) = +

(+) × (-) = -

(-) × (-) = +

(-) × (+) = -

(+) ÷ (+) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (-) = +

(-) ÷ (+) = -


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