Resolução comentada de Estatística - ICMS/RJ - 2007


19.
Uma amostra de 100 servidores de uma repartição apresentou média salarial de R$ 1.700,00 com uma dispersão de R$ 240,00. Pode-se afirmar que:
(A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a amostra em função do elevado valor do desvio-padrão.
(B) a melhor medida para representar a amostra é a remuneração por unidade de desvio-padrão.
(C) o salário mediano representaria melhor a amostra devido ao alto nível de heterogeneidade dos salários na amostra.
(D) a amostra não é suficientemente grande para analisarmos o valor encontrado para a média dos salários.
(E) a média aritmética pode perfeitamente representar os salários da amostra pelo fato de esta apresentar uma dispersão relativa inferior a 20%.

RESOLUÇÃO:
Foram fornecidos, no enunciado, os valores da média e do desvio padrão. Pelas opções de resposta, vemos que a primeira providência será calcular o CV (Coeficiente de Variação), que será encontrado dividindo-se o desvio padrão pela média. Assim o fazendo, teremos:

CV = 240/1.700 = 0,141176 que é, aproximadamente, 14,1%.

Tal CV (abaixo de 50%) indica que a distribuição é homogênea e a média é representativa para a distribuição. Relembrando a parte teórica, na página 37 do livro "Estatística Básica para Concursos" da Editora Ferreira, temos:

"Considera-se que um CV superior a 50% indica alto grau de dispersão e conseqüentemente pequena representatividade da Média, enquanto para um CV inferior a 50% a Média será tanto mais representativa quanto menor for o valor do CV, ou seja, quanto menor for o CV mais homogênea será considerada a série e quanto maior for o CV, mais heterogênea."

Somente com esse raciocínio já eliminamos, imediatamente, as opções A, B e C e observamos que a opção da letra E está absolutamente correta. A letra D está errada porque o tamanho da amostra (n = 100) é suficientemente grande (é maior do que 30).

Gabarito oficial - letra E.

20.
Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo.

 Box Plot
É correto afirmar que:
(A) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos homens.
(B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa.
(C) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres.
(D) a distribuição dos salários dos homens é atípica.
(E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens.

RESOLUÇÃO:
O assunto "Diagrama de Caixa (Box Plot) já foi bem explorado na resolução comentada da prova da Câmara dos Deputados, às páginas 3 e 4 do Toque de Mestre 19, de 01.10.2007 e também às páginas 167 a 170 do livro "Estatística-FCC". Mas vamos relembrar, para facilitar a presente explicação.

É apresentado na questão o desenho esquemático chamado Diagrama de Caixa (Box Plot), que utiliza o "esquema dos cinco números" a saber: Mínimo, 1º Quartil, Mediana, 3º Quartil e o Máximo da distribuição, onde os quartis são chamados de "juntas" da Caixa.

A distância entre as juntas (dj) corresponde à amplitude interquartílica (ou distância interquartílica ou ainda desvio interquartílico) e será obtida através da diferença entre o 3º Quartil (Q3) e o 1º Quartil (Q1), ou seja: dj = Q3 -Q1. Essa medida, serve para a detecção de Outiliers (valores atípicos) de uma distribuição.

Serão considerados Outliers os valores inferiores a Q1 -1,5dj ou superiores a Q3 + 1,5dj.
 
Para auxiliar o entendimento vamos posicionar, no diagrama, as cinco medidas citadas:
 Box Plot
Com o entendimento do "esquema dos cinco números", uma rápida visualização do diagrama é suficiente para verificar que a alternativa correta de resposta encontra-se na opção da letra A, pois a distância entre os quartis na caixa do sexo feminino é bem maior do que na caixa do sexo masculino.

Vemos ainda que a opção da letra B está errada, pois se a mediana (Md) está mais próxima do 1º Quartil (Q1), a distribuição será assimétrica positiva (ver explicação no livro FCC).

Vemos também que a letra E também está errada porque as medianas serão iguais para ambos os sexos.

Quanto às opções das letras C e D, nada podemos afirmar quanto ao valor da média ou quanto aos valores atípicos, pois não dispomos no diagrama de informações precisas dos valores necessários aos cálculos.

Gabarito oficial - letra A.

22
. Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos:
(A) mutuamente exclusivos.
(B) complementares.
(C) independentes.
(D) condicionais.
(E) elementares.

RESOLUÇÃO:
Basta relembrar que se A e B forem eventos independentes, então: Fórmula . Ou seja, a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades individuais.

Vemos que e portanto a resposta só pode ser a opção da letra C. Além disso as duas primeiras opções de resposta podem ser facilmente descartadas, pois: se os eventos A e B fossem mutuamente exclusivos a interseção P(A ∩ B) deveria ser igual a zero, o que não ocorre; e se A e B fossem complementares, sua soma, P(A) + P(B) deveria ser unitária, o que também não ocorre.

Gabarito oficial - letra C.

23.
Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:
(A) 0,104.
(B) 0,040.
(C) 0,096.
(D) 0,008.
(E) 0,200.

RESOLUÇÃO:

Trata-se de uma Distribuição Binomial de parâmetros: n = 3 e p = 0,20.
A probabilidade de sucesso (p) é a probabilidade de acertar uma questão, ou seja: 1/5 .
Conseqüentemente, a probabilidade de fracasso (errar a questão) é q = 0,80, ou  .
Para facilitar os cálculos, vamos considerar p e q na forma fracionária: p = 1/5 e q =  .

O candidato precisa de acertar pelo menos duas questões para ser aprovado, ou seja, pode acertar apenas duas ou as três questões do teste. Designando por X o número de k sucessos, queremos encontrar: P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3).

Lembrando que a fórmula para "k" sucessos é dada por   , então teremos:  


Portanto: P(X ≥ 2) =  .

Para facilitar os cálculos, já que as opções de resposta estão na forma decimal, multiplique por 8 o numerador e o denominador da fração  , e encontre a fração   = 0,104.
 
Gabarito oficial - letra A.

24.
A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). 
Estado CivilSexoTotal
MF
Solteiro300200500
Casado200100300
Viúvo100100200
Total6004001.000
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a:
(A) 0,6.
(B) 0,2.
(C) 0,4.
(D) 0,7.
(E) 0,5.

RESOLUÇÃO:

Vamos designar por F o evento "a pessoa escolhida é do sexo Feminino" e por V o evento "a pessoa escolhida tem a Viuvez como estado civil".
É pedida a probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva, P(F U V), mas devemos lembrar que estes eventos não são mutuamente exclusivos pois a pessoa escolhida pode ter as duas condições simultaneamente (ser mulher e viúva).

Logo, devemos subtrair a interseção, ficando com: P(F U V) = P(F) + P(V) - P(F ∩ V). Consultando a tabela dada, teremos:  


Gabarito oficial - letra E.

25
. Para a realização do teste de hipóteses Ho: μ = μo, contra H1: μ > μo, definimos como ERRO DO TIPO I:
(A) P(μ = μo | μ > μo).
(B) P(μ > μo | μ = μo).
(C) 1 – P(μ = μo | μ > μo).
(D) 1 – P(μ > μo | μ = μo).
(E) P(μ > μo | μ < μo).

RESOLUÇÃO: 
Os dois tipos de erro que podem ocorrer num Teste de Hipóteses são: ERRO DO TIPO I  Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira e ERRO DO TIPO II  Aceitar a hipótese nula quando ela é falsa.

Na opção A temos um Erro do Tipo II, pois é a probabilidade condicional de considerar μ = μo dado que μ > μo, ou seja, considerar certa a hipótese nula quando não é.

Na opção B sim, temos um Erro do Tipo I, pois é a probabilidade condicional de considerar μ > μo dado que μ = μo, ou seja, considerar falsa a hipótese nula quando ela é verdadeira.

As demais opções foram colocadas apenas para confundir e a opção da letra E poderia ser facilmente descartada, pois traz uma desigualdade aberta para as duas hipóteses, quando na hipótese nula sempre deverá haver uma igualdade ou uma desigualdade fechada.

Gabarito oficial - letra B (NULA no gabarito definitivo).

26. A probabilidade de um candidato acertar esta questão de múltipla escolha, (Y = 1), é função da proficiência em matemática, θ, do candidato e pode ser calculada por meio de:
sendo θ um número real que representa a medida de proficiência em matemática do candidato. Pode-se, então, afirmar que:
(A) a cada acréscimo de uma unidade na medida θ de proficiência matemática, a probabilidade de o candidato acertar a questão aumenta em 20%.
(B) a probabilidade de acertar a questão (Y = 1) é maior do que a probabilidade de errar a questão (Y = 0), para todos os candidatos com θ > 0.
(C) essa função de probabilidade tem máximo em θ = 0.
(D) a razão entre a probabilidade de acertar e a de errar a questão é uma função linear em θ, e expressa por –0,5 + 0,2θ.
(E) candidatos com θ = 2,5 de proficiência têm probabilidade 0,5 de acertar a questão.

RESOLUÇÃO:
Observando o modelo de função dado, vemos que essa função converge para 1 (que será o valor máximo da função e o valor máximo de uma probabilidade) à medida que θ aumenta, ou seja, quando θ tende a infinito. Portanto, a opção da letra C pode ser logo descartada, pois não será quando θ for zero que a função terá o valor máximo.

Mas nem todas as opções são de rápida verificação como esta. Ao invés de testar cada uma delas, o mais aconselhável é procurar as mais fáceis de serem testadas, como é o caso da opção na letra E.

Substituindo θ por 2,5 teremos 0,2 . 2,5 = 0,5 e assim:
 .

Gabarito oficial - letra E.

27.
Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, aproximadamente:
(A) 50 pessoas.
(B) 100 pessoas.
(C) 1.200 pessoas.
(D) 2.400 pessoas.
(E) 4.800 pessoas.

RESOLUÇÃO:
Para o cálculo do tamanho mínimo da amostra em função do erro máximo arbitrado faremos:  , onde:
p' é a proporção favorável na amostra;
q' é a proporção desfavorável na amostra;
 é o erro máximo arbitrado (no caso  = 0,02);
 é a abscissa da tabela normal padronizada.

Para um nível de confiança de 95% a abscissa correspondente a 5% de significância (áreas de 0,025 à esquerda e à direita da curva normal padrão - ver  tabela ) será de 1,96.

p' (proporção favorável na amostra) foi dada no enunciado, será 0,5 (ou 1/2 na forma fracionária) e, portanto q' também será o mesmo valor, pois p' e q' são complementares (soma igual a 1).

Substituindo na fórmula, teremos:  .
Dentro do parêntesis temos  , mas 0,02 equivale a  e, multiplicando 1,96 pelo inverso dessa fração teremos  = 98.
Portanto: n =  . (98)2 =   n = 2.401 ou, aproximadamente, 2.400 pessoas.

Gabarito oficial - letra D. ____________________________________________________________________________________________ GABARITOS: 19.E  20.A 22.C 23.A 24.E 25.B 26.E 27.D

Tabela de apoio para resolução de questões de Matemática Financeira e Estatística

Pedro Marcos Oliveira Bello é graduado em Estatística e Ciências Atuariais, tendo sido aprovado em diversos concursos públicos. Atualmente é Analista de Resseguros do IRB-Brasil Resseguros S/A, aprovado no recente concurso de 2004, e ministra aulas de Estatística, Matemática e Raciocínio Lógico  em diversos cursos preparatórios no Rio de Janeiro. Foi professor de Estatística na FAETEC - Fundação de Apoio à Escola Técnica e Técnico de Nível Superior II na Secretaria de Trabalho do Estado do RJ.


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